537. Орлов А.И. Экономическая статистика. Программа курса и раздаточные материалы. – М.: Академия народного хозяйства при Правительстве Российской Федерации, 2002. – 12 с.

Академия Народного Хозяйства при Правительстве Российской Федерации
Программа «Топ-Менеджер»

ЭКОНОМИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
 
Преподаватель – профессор, д.т.н. А.И.Орлов

Цель курса – знакомство с основами современных статистических методов, ориентированных на решение конкретных задач в области менеджмента и экономики. Задачи курса - приобретение основных знаний, умений и навыков применения статистических методов при решении экономических и управленческих задач; овладение базовыми понятиями теории статистики, прежде всего общим представлением о статистических методах анализа эмпирических экономических данных; приобретение исходных умений и навыков построения статистических моделей, применения методов описания данных, оценивания и проверки гипотез. 

Программа

	1. Структура экономической статистики. 
	Прикладная статистика, математическая статистика, применение статистических методов в конкретных областях. Экономическая статистика как одна из статистических наук. Примеры статистических исследований: выборочные опросы потребителей, перепись населения, расчет индекса инфляции. Современное положение статистики в России.
	
	2. Статистические данные.
	Выборочные и сплошные наблюдения. Влияние формулировок вопросов на результаты исследования. Организация опросов. Статистические таблицы. Статистические диаграммы (столбиковые, круговые, звездчатые и иные).
	Описание одномерных статистических данных. Вариационный ряд и его построение. Выборочные характеристик - среднее арифметическое, медиана, минимум, максимум, размах, квантили, верхний и нижний квартили, межквартильное расстояние. Выборочные дисперсия и среднее квадратическое отклонение. Гистограммы. Эмпирическая функция распределения. Непараметрические оценки плотности.

	3. Основные задачи статистики.
	Выборочные исследования. Опрос потребителей и выборочный контроль. Модели случайных выборок. Построение доверительного интервала для вероятности события. Проверка гипотезы о равенстве долей (гипотезы однородности) для двух групп. Расчетные формулы и таблицы ВЦИОМ.
	Описание данных. Методы классификации и многомерного шкалирования. Вероятностные модели в статистике. Оценивание характеристик и параметров. Проверка гипотез. Параметрические вероятностные модели. Непараметрическая статистика.

	4. Основные методы многомерного статистического анализа.
	Метод наименьших квадратов в случае линейной зависимости между откликом и фактором. Необходимые условия минимума гладкой функции нескольких переменных. Расчетные формулы для оценивания параметров. Точечный прогноз и доверительные границы. Случай нескольких факторов. Приближением многочленом. Преобразование переменных на примере логарифмирования экспоненциальной зависимости. Представление о дисперсионном анализе. Представление о факторном анализе и методе главных компонент.
 
	5. Временные ряды. 
	Описание экономических процессов временными рядами. Сглаживание временных рядов. Прогнозирование методом  наименьших квадратов. Расчет роста за несколько периодов с помощью показателей роста за отдельные периоды. Среднее геометрическое при вычислении среднего роста. Выделение циклов.
 
	6. Статистика нечисловых данных.
	Нечисловые данные в экономической статистике. Качественные признаки. Шкалы измерения (номинальная, порядковая, интервалов, отношений, разностей, абсолютная). Какими средними можно пользоваться в порядковой шкале? Последовательности из 0 и 1 (люсианы). Упорядочения. Интервальные данные. Нахождение итогового мнения комиссии экспертов. Роль расстояний между объектами нечисловой природы в статистике нечисловых данных. Статистика нечетких данных. 

	7. Проблемы практического применения методов экономической статистики.
	Понятия прикладной статистики и эконометрики. Основы методологии построения моделей анализа статистических данных. Планирование статистического исследования. Сбор данных. Компьютерная поддержка анализа данных. Современное положение в области теории и практики экономической статистики. «Точки роста».

№ п/п	Тема	Количество аудиторн. часов	
1	Структура экономической статистики	1	
2	Статистические данные	2	
3	Основные задачи статистики	2	
4	Основные методы многомерного статистического анализа	2	
5	Временные ряды	2	
6	Статистика нечисловых данных	2	
7	Проблемы практического применения методов экономической статистики	1	
	Всего	12	

Литература
1. Большев Л.Н., Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики. - М.: Наука, 1983.
2. Вероятность и математическая статистика: Энциклопедия/Гл. ред. Ю.В.Прохоров. – М.: Большая Российская энциклопедия, 1999. 
3. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. Учебник. – М.: Эдиториал УРСС, 2001.
4. Елисеева И.И., Юзбашев М.М. Общая теория статистики. Учебник. – М.: Финансы и статистика, 1998.
5. Кемени Дж., Снелл Дж. Кибернетическое моделирование.  М.: Сов. Радио, 1972.
6. Общая теория статистики: Статистическая методология в изучении коммерческой деятельности: Учебник/А.И.Харламов, О.Э.Башина, В.Т.Бабурин и др: Под ред. А.А.Спирина, О.Э.Башиной. - М.: Финансы и статистика, 1994. 
7. Орлов А.И. Что дает прикладная статистика народному хозяйству? -  "Вестник статистики", 1986, No.8, с.52-56.
8. Орлов А.И.  О перестройке статистической науки и ее применений. - "Вестник статистики", 1990, No.1, с.65-71.
9. Орлов А.И. Эконометрика. – М.: «Экзамен», 2002. – 576 с.
10. Орлов А.И., Федосеев В.Н. Менеджмент в техносфере. – М.: Мастерство, 2002. 
11. Пфанцагль И. Теория измерений. - М.1976.
12. Статистический словарь. - М.: Финансы и статистика, 1989.

Академия Народного Хозяйства при Правительстве Российской Федерации

ЭКОНОМИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
 
Раздаточные материалы к курсу профессора А.И.Орлова

1. Построение выборочной функции спроса
	Можно оценить ожидаемый спрос с помощью следующего простого приема. Спрашиваем потенциальных потребителей: "Какую максимальную цену Вы заплатили бы за такой-то товар?" Пусть для определенности речь идет о конкретном учебном пособии по менеджменту. В одном из экспериментов выборка состояла из 20 опрошенных. Они назвали следующие максимально допустимые для них цены (в рублях, сентябрь 1998 г.):
	40, 25, 30, 50, 35, 20, 50, 32, 15, 40, 20, 40, 45, 30, 50, 25, 35, 20, 35, 40.
	Названные величины  упорядочиваем в порядке возрастания (табл.1). В первом столбце - номера различных численных значений (в порядке возрастания), названных потребителями. Во втором столбце приведены сами значения цены, названные ими. В третьем столбце указано, сколько раз названо то или иное значение.

Табл.1. Эмпирическая оценка функции спроса и ее использование
№ п/п (i)	Цена pi	Ni	Спрос
 D(p i)	Прибыль
 (p-10)D(р)	Прибыль
 (p-15)D(р)	Прибыль 
(p-25)D(р)	
1	15	1	20	100	0	-	
2	20	3	19	190	95	-	
3	25	2	16	240	160	0	
4	30	2	14	280	210	70	
5	32	1	12	264	204	84	
6	35	3	11	275	220	110	
7	40	4	8	240	200	120	
8	45	1	4	140	120	80	
9	50	3	3	120	105	75	

	Таким образом, 20 потребителей назвали 9 конкретных значений цены (максимально допустимых, или приемлемых для них значений), каждое из значений, как видно из третьего столбца, названо от 1 до 4 раз. Теперь легко построить выборочную функцию спроса в зависимости от цены. Она будет представлена в четвертом столбце, который заполним снизу вверх. Если мы будем предлагать товар по цене свыше 50 руб., то его не купит никто из опрошенных. При цене 50 руб. появляются 3 покупателя. Записываем 3 в четвертый столбец в девятую строку. А если цену понизить до 45? Тогда товар купят четверо. А именно, тот единственный, для кого максимально возможная цена - 45, и те трое, кто был согласен на большую цену – 50 руб. Таким образом, легко заполнить столбец 4, действуя по правилу: значение в клетке четвертого столбца равно сумме значений в находящейся слева клетке третьего столбца и в лежащей снизу клетке четвертого столбца. Например, за 30 руб. купят товар 14 человек, а за 20 руб. - 19.
	Зависимость спроса от цены - это зависимость четвертого столбца от второго. Табл.1 дает нам девять точек такой зависимости. Зависимость можно представить на рисунке, в координатах «спрос – цена». Если абсцисса - это спрос, а ордината - цена, то девять точек на кривой спроса, перечисленные в порядке возрастания абсциссы, имеют вид:
(3; 50), (4; 45), (8; 40), (11; 35), (12; 32), (14; 30), (16; 25), (19; 20), (20; 15).

	Эти девять точек можно использовать для построения кривой спроса каким-либо графическим или расчетным способом, например, методом наименьших квадратов. Кривая спроса, как и должно быть, убывает, имея направления от левого верхнего угла чертежа к правому. Однако заметны отклонения от гладкого вида функции, связанные, в частности, с естественным пристрастием потребителей к круглым числам. 
	Данные табл.1 могут быть использованы для выбора цены продавцом-монополистом (или действующем на рынке монополистической конкуренции). Пусть расходы на изготовление единицы товара равны 10 руб. (например, оптовая цена книги - 10 руб.). По какой цене ее продавать на том рынке, функцию спроса для которого мы только что нашли? Для ответа вычислим суммарную прибыль, т.е. произведение прибыли на одном экземпляре (p-10) на число проданных (точнее, запрошенных) экземпляров D(p). Результаты - в пятом столбце табл.1. Максимальная прибыль (280 руб.) - при цене 30 руб. за экземпляр. При этом из 20 потенциальных покупателей окажутся в состоянии заплатить за книгу 14, т.е. 70% .

Табл.2. Прибыль при различных значениях издержек
№ п/п (i)	Цена pi	Спрос
 D(p i)	Прибыль
 (p-5)D(р)	Прибыль
 (p-20)D(р)	Прибыль 
(p-30)D(р)	Прибыль 
(p-35)D(р)	Прибыль 
(p-40)D(р)	
1	15	20	200	-	-	-	-	
2	20	19	285	0	-	-	-	
3	25	16	320	80	-	-	-	
4	30	14	350 *	140	0	-	-	
5	32	12	324	144	24	-	-	
6	35	11	330	165 *	55	0	-	
7	40	8	280	160	80 *	40	0	
8	45	4	160	100	60	40	20	
9	50	3	135	90	60	45 *	30 *	

	Если же удельные издержки производства, приходящиеся на одну книгу (или оптовая цена), повысятся до 15 руб., то данные столбца 6 табл.1 показывают, что максимальная прибыль, равная 220 руб. (она, разумеется, меньше, чем в предыдущем случае), достигается при более высокой цене - 35 руб. Эта цена доступна 11 потенциальным покупателям, т.е. 55% от всех возможных покупателей. При дальнейшем повышении издержек, скажем, до 25 руб., как вытекает из данных столбца 7 табл.1, максимальная прибыль, равная 120 руб., достигается при цене 40 руб. за единицу товара, что доступно 8 лицам, т.е. 40% покупателей. Отметьте, что при повышении оптовой цены на 10 руб. оказалось выгодным увеличить розничную лишь на 5, поскольку более резкое повышение привело бы к такому сокращению спроса, которое перекрыло бы эффект от повышения удельной прибыли (т.е. прибыли, приходящейся на одну проданную книгу). 
	Представляет интерес анализ оптимального объема выпуска при различных значениях удельных издержек. В табл.2 звездочками указаны максимальные значения прибыли при том или ином значении издержек, не включенном в табл.1. Для легкости обозрения результаты об оптимальных объемах выпуска и соответствующих ценах из табл. 1 и 2 приведены в табл.3. 

Табл.3. Зависимость оптимального выпуска и цены от издержек
Издержки	5	10	15	20	25	30	35	40	
Оптимальный выпуск	14	14	11	11	8	8	3	3	
Цена	30	30	35	35	40	40	50	50	

Как видно из табл.3, с ростом издержек оптимальный выпуск падает, а цена растет. При этом изменение издержек на 5 единиц может вызывать, а может и не вызывать повышения цены. В этом проявляется микроструктура функции спроса – небольшое повышение цены может привести к тому, что значительные группы покупателей откажутся от покупок, и прибыль упадет. Этот эффект напоминает известное в экономической теории разделение налогового бремени между производителем и потребителем. Неверно говорить, что производитель перекладывает издержки или, конкретно, налоги, на потребителя, повышая цену на их величину, поскольку при этом сокращается спрос (и выпуск), а потому и прибыль производителя.
	Дальнейшее ясно - если оптовая цена будет повышаться, то и дающая максимальную прибыль розничная цена также будет повышаться, и все меньшая доля покупателей сможет приобрести товар. Крайняя точка - оптовая цена, равная 45 руб. Тогда только трое (15 %) купят товар за 50 руб., а прибыль продавца составит только 15 руб. Наглядно видно, что повышение издержек производства приводит к ориентации производителя на наиболее богатые слои населения, но и повышение цен (до оптимального для монополиста-производителя  уровня) не приводит к повышению прибыли, напротив, она снижается, и при этом большинство потенциальных потребителей не в состоянии купить товар. 
 
2. Маркетинговые опросы потребителей
Биномиальная модель выборки. Она применяется для описания ответов на закрытые вопросы, имеющие две подсказки, например, "да" и "нет". Конечно, пары подсказок могут быть иными. Например, "согласен" и "не согласен". Или при опросе потребителей кондитерских товаров первая подсказка может иметь такой вид: "Больше люблю "Марс", чем "Сникерс". А вторая тогда такова: "Больше люблю "Сникерс", чем "Марс".
Пусть объем выборки равен n. Тогда ответы опрашиваемых можно представить как X1 , X2 ,…,Xn , где Xi = 1, если i-й респондент выбрал первую подсказку, и Xi = 0, если i-й респондент выбрал вторую подсказку, i=1,2,…,n. В вероятностной модели предполагается, что случайные величины X1 , X2 ,…,Xn независимы и одинаково распределены. Поскольку эти случайные величины принимают два значения, то ситуация описывается одним параметром р - долей выбирающих первую подсказку во всей генеральной совокупности. Тогда 
Р(Xi = 1) = р, Р(Xi = 0)= 1-р, i=1,2,…,n.
Пусть m = X1 + X2 +…+Xn . Оценкой вероятности р является частота р*=m/n. При этом математическое ожидание М(р*) и дисперсия D(p*) имеют вид
М(р*) = р, D(p*)= p(1-p)/n.
По Закону Больших Чисел (ЗБЧ) теории вероятностей (в данном случае - про теореме Бернулли) частота р* сходится (т.е. безгранично приближается) к вероятности р при росте объема выборки. Это и означает, что оценивание проводится тем точнее, чем больше объем выборки. Точность оценивания можно указать.  
	Нижняя доверительная граница для доли р в генеральной совокупности имеет вид

в то время как верхняя доверительная граница такова:

Наиболее распространенным (в прикладных исследованиях) значением доверительной вероятности является  Иногда употребляют термин "95% доверительный интервал". Тогда  
	Пример. Пусть n=500, m=200. Тогда p* =0,40. Найдем доверительный интервал для 

Таким образом, хотя в достаточно большой выборке 40% респондентов говорят "да", можно утверждать лишь, что во всей генеральной совокупности таких от 35,7% до 44,3% - крайние значения отличаются на 8,6%. 
В практической работе удобно пользоваться не формулами, а таблицами (табл.4).  

Табл.4. Допустимая величина ошибки выборки (в процентах)
 Объем группы
Доля р*	1000	750	600	400	200	100	
Около 10% или 90% 	2	3	3	4	5	7	
Около 20% или 80% 	3	4	4	5	7	9	
Около 30% или 70%	4	4	4	6	9	10	
Около 40% или 60% 	4	4	5	6	8	11	
Около 50%  	4	4	5	6	8	11	

В условиях рассмотренного выше примера надо взять вторую снизу строку. Объема выборки 500 нет в таблице, но есть объемы 400 и 600, которым соответствуют ошибки в 6% и 5% соответственно. Следовательно, в условиях примера целесообразно оценить ошибку как ((5+6)/2)% = 5,5%. Эта величина несколько больше, чем рассчитанная выше (4,3%). С чем связано это различие? Дело в том, что табл.4 связана не с доверительной вероятностью  а с доверительной вероятностью  которой соответствует множитель Расчет ошибки по приведенным выше формулам дает 5,65%, что практически совпадает со значением, найденным по табл.4.
	Как сравнить две группы - мужчин и женщин, молодых и пожилых, и т.п.? В маркетинге это важно для сегментации рынка. Если две группы не отличаются по ответам, значит, их можно объединить в один сегмент и проводить по отношению к ним одну и туже маркетинговую политику, в частности, осуществлять одни и те же рекламные воздействия. Если же две группы различаются, то и относиться к ним надо по-разному. Это - представители двух разных сегментов рынка, требующих разного подхода при борьбе за их завоевание. 
	Эконометрическая постановка такова. Рассматривается вопрос с двумя возможными ответами, например, "да" и "нет". В первой группе из n1 опрошенных m1 человек сказали "да", а во второй группе из n2 опрошенных m2 сказали "да". В вероятностной модели предполагается, что m1 и m2 - биномиальные случайные величины B(n1 , p1 ) и B(n2 , p2 ) соответственно. (Запись B(n , p) означает, что случайная величина m, имеющая биномиальное распределение B(n , p) с параметрами n - объем выборки и p - вероятность определенного ответа (скажем, ответа "да"), может быть представлена в виде m = X1 + X2 +…+Xn , где случайные величины X1 , X2 ,…,Xn независимы, одинаково распределены, принимают два значения1 и 0, причем Р(Xi = 1) = р, Р(Xi = 0)= 1-р, i=1,2,…,n.)
	Однородность двух групп означает, что соответствующие им вероятности равны, неоднородность - что эти вероятности отличаются. В терминах математической статистики: необходимо проверить гипотезу однородности
H0 : p1 = p2
при альтернативной гипотезе
H1 : p1 p2 .
(Иногда представляют интерес односторонние альтернативные гипотезы  и .)
	Оценкой вероятности р1 является частота р1*=m1/n1, а оценкой вероятности р2 является частота р2*=m2/n2 . Даже при совпадении вероятностей р1 и р2 частоты, как правило, различаются, как говорят, "по чисто случайным причинам".  
Правило принятия решения при проверке однородности двух выборок выглядит так:
1. Вычислить статистику

	2. Сравнить значение модуля статистика |Q| с граничным значением K. Если |Q|<K, то принять гипотезу однородности H0 . Если же |Q|>K, то заявить об отсутствии однородности и принять альтернативную гипотезу H1 . 
	Граничное значение К определяется выбором уровня значимости статистического критерия проверки однородности. Из приведенных выше предельных соотношений следует, что при справедливости гипотезы однородности H0 для уровня значимости имеем (при 

Следовательно, граничное значение в зависимости от уровня значимости целесообразно выбирать из условия

Здесь - функция, обратная к функции стандартного нормального распределения. В социально-экономических исследованиях наиболее распространен 5% уровень значимости, т.е.  Для него К = 1,96.
	Пример. Пусть из 500 опрошенных мужчин ответили "да, я люблю пепси-колу" 200, а из 700 опрошенных женщин 350 сказали "да, я люблю пепси-колу". Есть ли разница между мужчинами и женщинами по доле отвечающих "да" на вопрос о любви к пепси-коле?
В рассматриваемом примере нужные для расчетов величины таковы: Вычислим статистику 

Поскольку |Q| = 3,45 > 1,96, то необходимо отклонить нулевую гипотезу и принять альтернативную. Таким образом, мужчины и женщины отличаются по рассматриваемому признаку - любви к пепси-коле. 
Как и для доверительного оценивания вероятности, разработаны две полезные таблицы, позволяющие оценить вызванные чисто случайными причинами допустимые расхождения между частотами в группах. Эти таблицы рассчитаны при выполнении нулевой гипотезы однородности и соответствуют ситуациям, когда частоты близки к 50% (табл.5) или к 20% (табл.6). Если наблюдаемые частоты - от 30% до 70%, то рекомендуется пользоваться первой из этих таблиц, если от 10% до 30% или от 70% до 90% - то второй.  

Табл.5. Допустимые расхождения (в %) между частотами в двух группах
 в случае, когда наблюдаются частоты от 30% до 70% 
Объемы групп	750	600	400	200	100	
750	6	7	7	10	12	
600	7	8	8	11	13	
400	7	8	10	11	14	
200	10	11	11	13	16	
100	12	13	14	16	18	

Табл.6. Допустимые расхождения (в %) между частотами в двух группах  в случае, когда наблюдаются частоты от 10% до30% или от 70% до 90% 
Объемы групп	750	600	400	200	100	
750	5	5	6	8	10	
600	5	6	7	8	10	
400	6	7	8	9	11	
200	8	8	9	10	12	
100	10	10	11	12	14	

	В условиях разобранного выше примера табл.5 дает допустимое расхождение 7%. Действительно, объем первой группы 500 отсутствует в таблице, но строки, соответствующие объемам 400и 600, совпадают  для первых двух столбцов слева. Эти столбцы соответствуют объемам второй группы 750 и 600, между которыми расположен объем 700, данный в примере. Он ближе к 750, поэтому берем величину расхождения, стоящую на пересечении первого столбца и второй (и третьей) строк, т.е. 7%. Поскольку реальное расхождение (10%) больше, чем 7%, то делаем вывод о наличии значимого различия между группами. Естественно, этот вывод совпадает с полученным ранее расчетным путем. 

3. Метод наименьших квадратов
Исходные данные – набор n пар чисел (tk , xk), k = 1,2,…,n, где tk – независимая переменная (например, время), а xk – зависимая (например, индекс инфляции, курс доллара США, объем месячного производства или размер дневной выручки торговой точки). Предполагается, что переменные связаны зависимостью
xk = a tk + b + ek , k = 1,2,…,n, 
где a и b – параметры, неизвестные статистику и подлежащие оцениванию, а ek – погрешности, искажающие зависимость.
Обычно оценивают параметры a и b линейной зависимости методом наименьших квадратов. Затем восстановленную зависимость используют для точечного и интервального прогнозирования. Как известно, метод наименьших квадратов был разработан великим немецким математиком К. Гауссом в 1794 г. Согласно этому методу для расчета наилучшей функции, приближающей линейным образом зависимость x от t, следует  рассмотреть функцию двух переменных

Оценки метода наименьших квадратов - это такие значения a* и b*, при которых функция  f(a,b) достигает минимума по всем значениям аргументов. Чтобы найти эти оценки, надо вычислить частные производные от функции f(a,b) по аргументам a и b, приравнять их 0, затем из полученных уравнений найти оценки: метода наименьших квадратов 
   (1)
где
 tср = (t1 + t2 +…+tn ) / n,   хср = (х1 + х2 +…+ хn ) / n .
Следовательно, восстановленная функция, с помощью которой можно прогнозировать и интерполировать, имеет вид 
x*(t) = a*t+ b*.
 	Пример оценивания по методу наименьших квадратов. Пусть даны n=6 пар чисел (tk , xk), k = 1,2,…,6, представленных во втором и третьем столбцах табл.7. Для вычисления оценок метода наименьших квадратов достаточно найти суммы выражений, представленных в четвертом и пятом столбцах табл.7.

Табл.7. Расчет по методу наименьших квадратов при построении 
линейной прогностической функции одной переменной
i	ti	xi						()2	
1	1	12	1	12	3,14	12,17	-0,17	0,03	
2	3	20	9	60	9,42	18,45	1,55	2,40	
3	4	20	16	80	12,56	21,59	-1,59	2,53	
4	7	32	49	224	21,98	31,01	0,99	0,98	
5	9	35	81	315	28,26	37,29	-2,29	5,24	
6	10	42	100	420	31,40	40,43	1,57	2,46	
	34	161	256	1111			0,06	13,64	
	5,67	26,83	42,67	185,17					

С соответствии с формулами (1)
 b*=9,03
Следовательно, прогностическая формула имеет вид 
	Следующий этап анализа данных - оценка точности приближения функции методом наименьших квадратов. Сначала рассматриваются т.н. восстановленные значения  Это те значения, которые полученная в результате расчетов прогностическая функция принимает в тех точках, в которых известны истинные значения зависимой переменной xi . 
Вполне естественно сравнить восстановленные и истинные значения. Это и сделано в шестом - восьмом столбцах табл. 7. Для простоты расчетов в шестом столбце представлены произведения , седьмой отличается от шестого добавлением константы 9,03 и содержит восстановленные значения. Восьмой столбец - это разность третьего и седьмого. 
	Непосредственный анализ восьмого столбца табл.1 показывает, что содержащиеся в нем числа сравнительно невелики по величине по сравнению с третьим столбцом (на порядок меньше по величине). Кроме того, знаки "+" и "-" чередуются. Эти два признака свидетельствуют о правильности расчетов. При использовании метода наименьших квадратов знаки не всегда чередуются. Однако если сначала идут только плюсы, а потом только минусы (или наоборот, сначала только минусы, а потом только плюсы), то это верный показатель того, что в вычислениях допущена ошибка. 
	Верно следующее теоретическое соотношение: 

Однако сумма по восьмому столбцу дает 0,06, а не 0. Незначительное отличие от 0 связано с ошибками округления при вычислениях. Близость суммы значений зависимой переменной и суммы восстановленных значений - критерий правильности расчетов.
	В последнем девятом столбце табл.7 приведены квадраты значений из восьмого столбца. Их сумма - это остаточная сумма квадратов SS = 13,64.  Оценками дисперсии погрешностей и их среднего квадратического отклонения являются

	Рассмотрим распределения оценок параметров. Оценка b* имеет асимптотически нормальное распределение с математическим ожиданием b и дисперсией, которая оценивается как 2,27/6=0,38 (здесь считаем, что 6 - "достаточно большое" число, что, конечно, можно оспаривать). Оценкой среднего квадратического отклонения является 0,615. Следовательно, при доверительной вероятности 0,95 доверительный интервал для параметра b имеет вид (26,83 - 1,96.0,615; 26,83 + 1,96.0,615) = (25,625; 28,035).
	В формулах для дисперсий участвует величина

Подставив численные значения, получаем, что

Дисперсия для оценки а* коэффициента при линейном члене прогностической функции оценивается как 2,27/63,1=0,036, а среднее квадратическое отклонение - как 0,19. Следовательно, при доверительной вероятности 0,95 доверительный интервал для параметра а имеет вид (3,14 - 1,96.0,19; 3,14 + 1,96,0,19) = (2,77; 3,51).
	Прогностическая формула с учетом погрешности имеет вид (при доверительной вероятности 0,95)

Например, при t = 12 эта формула дает  Следовательно, нижняя доверительная граница - это 44,095, а верхняя доверительная граница - это 49,325.
 
4. Основные типы шкал измерения
В шкале наименований (другое название этой шкалы – номинальная) числа используются лишь как метки. Примерно так же, как при сдаче белья в прачечную, т.е. лишь для различения объектов. В шкале наименований измерены, например, номера телефонов, автомашин, паспортов, студенческих билетов. Номера страховых свидетельств государственного пенсионного страхования, медицинского страхования, ИНН (индивидуальный номер налогоплательщика) измерены в шкале наименований. Пол людей тоже измерен в шкале наименований, результат измерения принимает два значения - мужской, женский. Раса, национальность, цвет глаз, волос - номинальные признаки. Номера букв в алфавите - тоже измерения в шкале наименований. Никому в здравом уме не придет в голову складывать или умножать номера телефонов, такие операции не имеют смысла. Сравнивать буквы и говорить, например, что буква П лучше буквы С, также никто не будет. Единственное, для чего годятся измерения в шкале наименований - это различать объекты.  
В порядковой шкале числа используются не только для различения объектов, но и для установления порядка между объектами. Простейшим примером являются оценки знаний учащихся. Символично, что в средней школе применяются оценки 2, 3, 4, 5, а в высшей школе ровно тот же смысл выражается словесно - неудовлетворительно, удовлетворительно, хорошо, отлично. Этим подчеркивается "нечисловой" характер оценок знаний учащихся.  
	Оценки экспертов часто следует считать измеренными в порядковой шкале. Типичным примером являются задачи ранжирования и классификации промышленных объектов, подлежащих экологическому страхованию. Как показали многочисленные опыты, человек более правильно (и с меньшими затруднениями) отвечает на вопросы качественного, например, сравнительного, характера, чем количественного. Так, ему легче сказать, какая из двух гирь тяжелее, чем указать их примерный вес в граммах. 
В различных областях человеческой деятельности применяется много других видов порядковых шкал. Так, например, в минералогии используется шкала Мооса, по которому минералы классифицируются согласно критерию твердости. А именно: тальк имеет балл 1, гипс - 2, кальций - 3, флюорит - 4, апатит - 5, ортоклаз - 6, кварц - 7, топаз - 8, корунд - 9, алмаз - 10. Минерал с большим номером является более твердым, чем минерал с меньшим номером, при нажатии царапает его. Порядковыми шкалами в географии являются - бофортова шкала ветров ("штиль", "слабый ветер", "умеренный ветер" и т.д.), шкала силы землетрясений. Очевидно, нельзя утверждать, что землетрясение в 2 балла (лампа качнулась под потолком - такое бывает и в Москве) ровно в 5 раз слабее, чем землетрясение в 10 баллов (полное разрушение всего на поверхности земли). При оценке качества продукции и услуг популярны порядковые шкалы. А именно, единица продукции оценивается как годная или дефектная. При более тщательном анализе используется шкала с тремя градациями: есть значительные дефекты - присутствуют только незначительные дефекты - нет дефектов. Иногда применяют четыре градации: имеются критические дефекты (делающие невозможным использование) - есть значительные дефекты - присутствуют только незначительные дефекты - нет дефектов. Аналогичный смысл имеет сортность продукции - высший сорт, первый сорт, второй сорт,… При оценке экологических воздействий первая, наиболее обобщенная оценка - обычно порядковая, например: природная среда стабильна - природная среда угнетена (деградирует). Аналогично в эколого-медицинской шкале: нет выраженного воздействия на здоровье людей - отмечается отрицательное воздействие на здоровье. 
Все шкалы измерения делят на две группы - шкалы качественных признаков и шкалы количественных признаков. Порядковая шкала и шкала наименований - основные шкалы качественных признаков. Шкалы количественных признаков - это шкалы интервалов, отношений, разностей, абсолютная. По шкале интервалов измеряют величину потенциальной энергии или координату точки на прямой. В этих случаях на шкале нельзя отметить ни естественное начало отсчета, ни естественную единицу измерения. Исследователь должен сам задать точку отсчета и сам выбрать единицу измерения.. Температурные шкалы Цельсия и Фаренгейта связаны линейной зависимостью: 0С = 5/9 (0F - 32), где 0С - температура (в градусах) по Цельсию, а 0F - температура по Фаренгейту.
	Из количественных шкал наиболее распространенными в науке и практике являются шкалы отношений. В них есть естественное начало отсчета - нуль, т.е. отсутствие величины, но нет естественной единицы измерения. По шкале отношений измерены большинство физических единиц: масса тела, длина, заряд, а также цены в экономике.     Примером допустимого преобразования шкал отношений является пересчет цен из одной валюты в другую по фиксированному курсу. Предположим, мы сравниваем экономическую эффективность двух инвестиционных проектов, используя цены в рублях. Пусть первый проект оказался лучше второго. Теперь перейдем на другую валюту, используя фиксированный курс пересчета. Очевидно, первый проект должен опять оказаться более выгодным, чем второй. Однако алгоритмы расчета не обеспечивают автоматически выполнения этого очевидного условия. Надо проверять, что оно выполнено.  
В шкале разностей есть естественная единица измерения, но нет естественного начала отсчета. Время измеряется по шкале разностей, если год (или сутки - от полудня до полудня) принимаем естественной единицей измерения. На современном уровне знаний естественного начала отсчета указать нельзя. Только для абсолютной шкалы результаты измерений - числа в обычном смысле слова. Примером является число людей в комнате.  

Литература
1. Большев Л.Н., Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики. - М.: Наука, 1983.
2. Вероятность и математическая статистика: Энциклопедия/Гл. ред. Ю.В.Прохоров. – М.: Большая Российская энциклопедия, 1999. 
3. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. Учебник. – М.: Эдиториал УРСС, 2001.
4. Елисеева И.И., Юзбашев М.М. Общая теория статистики. Учебник. – М.: Финансы и статистика, 1998.
5. Кемени Дж., Снелл Дж. Кибернетическое моделирование.  М.: Сов. Радио, 1972.
6. Общая теория статистики: Статистическая методология в изучении коммерческой деятельности: Учебник/А.И.Харламов, О.Э.Башина, В.Т.Бабурин и др: Под ред. А.А.Спирина, О.Э.Башиной. - М.: Финансы и статистика, 1994. 
7. Орлов А.И. Что дает прикладная статистика народному хозяйству? -  "Вестник статистики", 1986, No.8, с.52-56.
8. Орлов А.И.  О перестройке статистической науки и ее применений. - "Вестник статистики", 1990, No.1, с.65-71.
9. Орлов А.И. Эконометрика. – М.: «Экзамен», 2002. – 576 с.
10. Орлов А.И., Федосеев В.Н. Менеджмент в техносфере. – М.: Мастерство, 2002. 
11. Пфанцагль И. Теория измерений. - М.1976.
12. Статистический словарь. - М.: Финансы и статистика, 1989.

Фамилия, имя, отчество слушателя________________________________________
______________________________________________________________________

Зачет (тест) по курсу «Экономическая статистика»
(Обведите наиболее подходящий вариант ответа.)

1. Согласно официальным данным Государственного комитета РФ по статистике в 1998 г. выполняли исследования и разработки 383 высшие учебные заведения, а подготовку аспирантов вели 538 вуза. Как можно объяснить это несоответствие?
А) Аспиранты не ведут научную работу. 
Б) Профессора, руководители аспирантов, не ведут научную работу.
В) Госкомстат РФ учитывает только финансирование научных работ и наличие научных ставок. 

2. При какой цене максимальна прибыль в условиях раздела 1 раздаточных материалов, если издержки равны 12?  
А) 30; 	Б) 32; 		В) 35.

3. При исследовании предпочтений потребителей открытые вопросы:
А) труднее для опрашиваемых, но легче для обработки;
Б) легче для опрашиваемых, но труднее для обработки.

4. Пусть из 657 опрошенных 289 сказали «да». Доверительный интервал для доли отвечающих «да» в генеральной совокупности, соответствующий доверительной вероятности 0,95, таков:
А) [0,245; 0,398];   Б) [0,435; 0,445];   В) [0,405; 0,556];   Г) [0,402; 0,478];   Д) [0,247; 0,633] .

5. Сравнение групп
6. Пргностическая функция МНК
7. Доверительный интервал МНК

8. Для анализа данных, измеренных в порядковой шкале, можно вычислять:
А) среднее арифметическое;  Б) медиану, В) среднее геометрическое.

9. Для анализа данных, измеренных в шкале интервалов, можно вычислять:
А) среднее гармоническое; Б) среднее арифметическое; В) среднее геометрическое.